Chapitre III-2 Les nombres imaginaires:
Faire une maison qui existe
avec des briques qui n'Existent pas

 

 

(Permalien)(Etait le chapitre 20 dans la version 1)

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Préléminaire, pour ceux qui ne croient pas que les nombres existent

(Permalien) Certains mathématiciens considèrent que les entités mathématiques n'ont pas d'existence réelle, qu'elles ne sont que de pures créations de l'esprit humain. Je me permets de contester cette opinion.

Prenons l'équation: x² = 4

Cette équation a deux solutions: +2 et -2. Ce sont les deux seuls nombres qui, portés au carré, donnent 4.

Si les mathématiques sont une création de l'esprit humain, alors il devrait y avoir moyen de créer d'autres solutions. Chiche. En droit, on crée des lois de cette façon: on écrit une loi, on fait le rituel pour la promulguer, et hop, tout le monde est sensé connaître notre loi, même ceux qui ne l'ont pas lue. Il en est ainsi parce que les lois sont des conventions, des créations de l'esprit humain. En est-il de même en mathématique? Attention, je dis bien trouver un troisième nombre qui satisfasse l'égalité ci-dessus. Si quelqu'un y arrive, je veux bien admettre moi aussi que les mathématiques sont une création de l'esprit humain, tout comme les lois. Mais je suis absolument certain que personne n'y arrivera jamais.

Pour la bonne raison que les faits mathématiques existent indépendamment du temps, et donc ils ne peuvent être ni créés ni changés.

Soit dit en passant, je n'admet pas de tour de passe passe tel que dire que 10 (deux en binaire) est une solution, ou II (deux en romain). Il s'agit bien du même nombre, exprimé avec des notations différentes. Chiffres et notations sont des conventions, oui, et il y a plusieurs conventions pour le même nombre. Je demande bien un troisième nombre pour le problème ci-dessus, pas une autre notation pour les nombres 2 ou -2.

Deux premiers principes de métaphysique

(Permalien) Cette impossibilité fondamentale de faire ce que l'on veut en mathématiques peut s'énoncer de manière très simple, en disant que, en mathématiques, certaines choses existent, et d'autres non. C'est d'ailleurs ainsi que parlent les mathématiciens, qui utilisent même le symbole ∃ pour dire «Il existe». Ainsi ∃ deux nombres qui sont les solutions de l'équation x² = 4.

Il en va donc de même que dans le monde matériel: nous disons qu'un objet existe quand il nous impose sa présence et ses propriétés. Sinon, on dit qu'il n'existe pas. Cette définition de l'existence sera notre premier principe métaphysique.

Donc similairement en mathématiques on peut dire que les solutions +2 et -2 répondent à la définition «exister», et pas une troisième. Je pense que cette façon de faire est saine, et que toute autre discussion relèverait de l'argutie.

 

Ainsi on peut dire que au moins certains objets «abstraits» existent, à leur façon. Le seul argument contre serait que ce n'est «pas le même degré d'existence» que les objets matériels. Mais on reconnaîtra justement là le présupposé matérialiste implicite, attaché à la science traditionnelle, vu au chapitre III-1. Et c'est précisément ce qu'il ne faut pas faire en métaphysique, quand on a prétention de créer un système d'explication du monde.

 

Donc le second principe métaphysique ici sera que précisément, les faits abstraits ont le même degré d'existence que les faits physiques. La seule différence est qu'ils n'apparaissent pas à nos organes des sens.

Si il fallait faire une hiérarchie des forces d'existence, on pourrait dire que l'acier le plus dur peut être brisé, et même les montagnes peuvent être arasées. Mais les solutions à l'équation précédente ne disparaîtront jamais. Ainsi ce serait plutôt les faits abstraits qui sont infiniment plus solides que n'importe quel fait matériel.

Rappel: définition des nombres imaginaires

(Permalien) Le but de ce sous-chapitre est d'en faire une présentation simplifiée mais mathématiquement exacte, pour les lecteurs non mathématiciens, en s'excusant des raccourcis imagés auprès des puristes.

Multiplier un nombre positif ou négatif par lui même, cela s'appelle élever au carré. Le nombre obtenu s'appelle un carré, et ce carré est toujours positif. Dans l'opération inverse, on part d'un nombre donné dont on suppose qu'il est un carré. On recherche alors de quel nombre il est le carré. Cela s'appelle extraire la racine carrée. (Il n'y a qu'en maths qu'on voit des racines carrées, je n'en ai jamais trouvé dans mon potager). Si notre nombre est positif, tout va bien, on trouve toujours une racine carrée, et même deux: une positive et une négative, ce qui nous donne même le choix. Mais si notre nombre est négatif? Ça ne peut pas marcher, puisque aucun nombre, ni positif ni négatif, ne peut donner un carré négatif. Il n'existe pas de racines carrées de nombres négatifs.

Un jour, au grand dam des autres mathématiciens, un farfelu a eu l'idée d'imaginer un nombre i dont le carré serait -1, et une infinité de nombres imaginaires multiples de ce i, tous racines carrées de nombres négatifs. Des nombres imaginaires, des nombres qui n'existent pas, puisque aucun nombre élevé au carré ne peut donner -1. Et de donner un nom à quelque chose qui n'existe pas ne suffit pas à le rendre réel! Cette idée étrange aurait pu passer inaperçue, seulement il s'est trouvé des malins pour remarquer que ces nombres imaginaires étaient très pratiques pour faire des calculs dans quantité de domaines techniques, notamment les courants électriques alternatifs. Ils n'étaient pas du tout indispensables, on aurait pu utiliser des fonctions trigonométriques sérieuses, qui ont elles l'avantage d'exister. Seulement une ligne de calcul imaginaire simple remplace une page de trigonométrie compliquée, et en prime les résultats sont beaucoup plus clairement exprimés.

Tant qu'à faire, puisque i était imaginaire, on pouvait lui donner les propriétés qu'on voulait. Comme il n'existe pas, il ne peut pas se défendre! Les mathématiciens ont ainsi décrété que eⁱ = cos(1) + sin(1)i. Même si vous ne comprenez rien à cette formule, vous remarquerez facilement que ce choix est très particulier, très arbitraire. Pourquoi eⁱ n'aurait-il pas été égal à zéro, à Pi ou à l'âge de ma tante? On aurait pu aussi bien, mais ce choix précis avait l'avantage d'aider considérablement à la résolution d'un type d'équation différentielle (du second ordre) indispensable pour calculer tous les phénomènes d'oscillations amorties: suspension de voiture, de machine à laver, pendules, hauts-parleurs, circuits de radio, toutes les régulations de vitesse, de température, bras de robots, ailerons d'avion, servomoteurs de télécommandes, etc.

Autrement dit des nombres imaginaires et leurs propriétés arbitraires régissent tout dans la maison, sur la route, en avion... C'est rassurant, quand on est en avion au dessus de onze kilomètres de vide, de penser que notre sécurité repose en partie sur quelque chose d'imaginaire. Et pourtant réfléchissez-y: c'est la seule partie de l'avion qui ne tombera jamais en panne.

(Bien sûr, il ne faut pas confondre: le courant qui passe dans une bobine est noté par un nombre imaginaire, mais si vous y mettez les doigts vous le sentirez tout autant! Ce n'est que le comportement des systèmes qui fait appel à des éléments imaginaires, les systèmes eux-mêmes sont tous faits d'éléments matériels).

 

Ce qui est intéressant de retenir ici c'est que l'on a bâtit toute une théorie qui existe et qui donne des résultats très concrets, à partir d'un objet, i, d'une base qui n'existe pas, mais dont on fait comme si il était là. Et en plus on en a abusé sans vergogne pour lui imaginer les propriétés qui nous arrangent. Un objet réel nous impose forcément ses propriétés, qualités ou défauts. Mais cet objet imaginaire, lui, ne pouvait pas se défendre, puisqu'il n'existe pas. Alors on l'a défini de la manière qui nous arrange le plus, pour nos petites combines. Ceci est une application concrète de notre premier principe métaphysique.

 

Ainsi les mathématiciens ont vraiment bâti une maison, l'ensemble des nombres imaginaires et toutes ses applications, à partir d'une brique i qui n'existe pas.

Ils sont vraiment gonflés, hein?