Chapitre I-2 La Théorie des Ensembles

 

(Permalien)

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Récemment (20eme siècle) la Théorie des Ensembles a tenté de reprendre à la base toute la logique et les mathématiques, en s'affranchissant au maximum de toute référence à des objets particuliers, quels qu'ils soient. Rappelons d'abord ce qu'est la Théorie des Ensembles.

La Théorie des Ensembles est basée sur trois axiomes supposés êtres des vérités universelles évidentes, à partir desquels toute vérité mathématique (calculs, théorèmes) peut être démontrée par des raisonnements logiques rigoureusement exacts (démonstrations).

1er axiome: Toute collection d'objets pour lesquels il existe un critère permettant de dire si ils font partie ou non de la collection est un ensemble.

2eme axiome: Un ensemble ne peut faire partie de lui-même

3eme axiome: La collection de tous les ensembles n'est pas un ensemble.

(Ajouté en Juillet 2015, déplacé et revu Novembre 2017: ceci est la théorie des Ensembles que j'ai apprise au lycée et qui est discutée dans les revues scientifiques. J'ai bien vu que la description de wikipédia est différente, assez confuse et non-connectée aux autres parties des mathématiques. Mais je fais tout de même plus confiance au lycée qu'à des éditeurs anonymes, laissant à ces derniers le soin de s'expliquer publiquement sur la différence)

(Dans la Théorie des Ensembles comme dans tout le texte qui suit, «objet» réfère à tout élément sur lequel on va faire des raisonnements logiques, qu'il soit des domaines concrets, abstraits, des idées, des sentiments, de l'esprit, ou même de l'imaginaire)

A partir de ces trois axiomes on peut retrouver tous les objets mathématiques familiers. Par exemple on définit l'ensemble vide qui ne contient aucun élément, et qui est dit de cardinal zéro. Un ensemble qui ne contient que l'ensemble vide est dit de cardinal un; un ensemble qui contient l'ensemble vide plus le précédent est dit de cardinal deux, un ensemble qui contient l'ensemble vide plus les deux précédents est dit de cardinal trois, et ainsi de suite on définit tous les nombres entiers. Leurs relations donnent les opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication, division, puis par diverses constructions rigoureuses on retrouve les nombres rationnels, puis les réels... La logique Aristotélicienne, ses ET et ses OU, se déduit des opérations familières d'intersection et d'union des ensembles. Enfin l'étude des structures de ces ensembles mène à des notions comme l'algèbre, les équations et les espaces vectoriels. Cette notion d'«espace abstrait» dans un ensemble, équivalent exact de notre notion concrète habituelle de l'espace, sera d'une grande importance dans la troisième partie sur la métaphysique.

 

J'affirme ici que les axiomes de la Théorie des Ensembles, loin d'être des absolus, représentent déjà un certain choix qui sélectionne les résultats qu'ils sont sensés démontrer.

Le troisième axiome est déjà très intrigant: Aucun lycéen ne s'est jamais demandé: pourquoi la collection de tous les ensembles ne serait-elle pas un ensemble? C'est que si on la considère comme tel, alors on viole le second axiome. Si on ne la considère pas comme tel, alors on viole le premier. Le choix qui a été fait malgré tout par les mathématiciens a de bonnes raisons, mais on ne peut s'empêcher de penser que ce troisième axiome est là pour cacher un paradoxe, une situation où la logique est impuissante à déterminer la réalité. Pourquoi ne pas simplement reconnaître que la logique a ses faiblesses et qu'elle mène parfois à des paradoxes, à des affirmations indémontrables? Au lieu de dire que cet ensemble n'en est pas un, il suffit de dire que son existence est un paradoxe. Et, après avoir regardé un peu par la fenêtre, on aurait une démonstration rigoureuse d'un fait: les paradoxes n'ont jamais empêché le blé de pousser.

Le second axiome a également paru indispensable aux membres du groupe Bourbaki qui a formalisé la Théorie des Ensembles. Toutefois certains mathématiciens le suppriment. On aboutit alors à une autre théorie, dite des super-ensembles. (note 36). A vue de nez certains paradoxes doivent y apparaître systématiquement, du fait des références circulaires, ce qui ramène cette discussion à celle du troisième axiome: dans la Théorie des Ensembles classiques, on refuse d'envisager les ensembles qui se contiennent eux-mêmes, afin d'éviter l'apparition de paradoxes ou de propositions indécidables. Nous aurons l'occasion de reparler des paradoxes tout au long de ce livre, mais surtout dans la troisième partie sur la métaphysique, où on leur trouvera un excellent usage concret.

 

Mais le principal problème que je veux signaler pour le moment provient du premier axiome, auquel à ma connaissance aucun mathématicien ne s'est attaqué. Et pourtant j'y vois deux a priori tout à fait arbitraires et très intéressants:

1) La notion que les objets sont forcément séparés et distincts les uns des autres.

2) La notion de critère absolu d'appartenance à l'ensemble, en tout ou rien, sans aucune nuance.

Il ne s'agit pas ici de dire ici que le premier axiome serait «faux», mais de prendre conscience qu'il résulte d'un choix parmi différentes possibilités, en faveur d'objets spéciaux qui auraient les propriétés particulières ci-dessus. Seul ce choix mène à la Théorie des Ensembles. D'autres choix ont été envisagés par les mathématiciens, mais ils sont restés peu étudiés, car ne pouvant être maîtrisés... par la logique Aristotélicienne!

Ce que je dis ici est que s'intéresser à des objets aux propriétés différentes mènerait à une autre théorie, et partant à une autre logique. Et je conteste que la logique Aristotélicienne (propositions au sens univoque qui sont sans ambiguïté totalement vraies ou totalement fausses) soit «démontrée» par la Théorie des Ensembles. Cette logique découle simplement des deux choix ci-dessus; elle est impliquée dès le début par ces choix. En particulier le second choix conduit obligatoirement à la notion de proposition totalement vraie ou totalement fausse, si essentielle à la logique Aristotélicienne. Si on veut démontrer les théorèmes de la logique Aristotélicienne et bâtir des mathématiques à partir de ces deux choix, la Théorie des Ensembles est parfaite; mais ses axiomes de départ ne peuvent être démontrés par ses résultats. A mon avis il faudrait reformuler le premier axiome de la Théorie des Ensembles, de façon à bien montrer que la logique Aristotélicienne découle directement des deux choix ci dessus.

Alors la logique aristotélicienne est-elle «vraie»? Est-elle «fausse»? Ou sa véracité dépend-elle du sens du vent ou de notre bon vouloir, comme le prétendent ceux qui utilisent ce genre d'arguments biaises par l'égocentrisme pour contester la morale et échapper a ses obligations? Ce que je dirai c'est qu'il n'y a pas de sens à dire que la logique aristotélicienne serait absolument vraie ou absolument fausse, mais que La logique Aristotélicienne est valide pour les objets particuliers qui satisfont aux critères ci dessus (choix 1 et 2), et seulement pour eux. Indépendamment bien sur de nos intérêts personnels, ce point important doit être discuté en détail au chapitre I-8.

 

Maintenant, qu'arrive t-il dans les autres cas, avec d'autres types d'objets? C'est ce que nous allons voir au chapitre I-3 qui suit.