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Epistémologie Generale        Chapitre III-3       

 

Chapitre III-3 L'absurdité créatrice

 

 

(Permalien)(Etait le chapitre 21 dans la version 1)

 

Raisonnement

(Permalien) Ce qui me paraît le plus juste de dire, à propos de i, base des nombres imaginaires, est qu'il résulte de l'usage judicieux d'un paradoxe: bien qu'il n'existe pas, il s'est avéré fort utile de faire comme si il existait, à l'aide d'un axiome spécial, passant outre la très visible contradiction.

Si le procédé est flagrant dans le cas des nombres imaginaires, il n'est pas unique. Je dirai même qu'il est assez général en mathématique.

En effet, toutes les constructions mathématiques contiennent de telles astuces, sans lesquelles elles ne fonctionneraient tout simplement pas.

A commencer par la célèbre Théorie des Ensembles que nous avons vue au chapitre I-2. On se rappelle que cette théorie, base des mathématiques actuelles et de ses constructions les plus complexes, contient deux contradictions, deux paradoxes, deux propositions indécidables, qui ont pourtant été fixées à l'aide des second et troisième axiomes. Seul le premier des trois axiomes de la Théorie des Ensembles est réellement utile et fondateur, les deux autres ne servant qu'à cacher l'apparition de paradoxes. Je dit bien cacher: si dans le second axiome on dit «un ensemble ne peut faire partie de lui-même» on ne fait que refuser de considérer des ensembles qui se contiendraient eux-mêmes. Ce n'est là qu'une convention, car on peut trouver de tels objets (note 36). D'ailleurs certains mathématiciens les étudient, ce qui mène à la Théorie des Super-ensembles. Quant au troisième axiome, il concerne, on l'a vu, un paradoxe unique, celui de l'«ensemble de tous les ensembles». Cet objet existe, il répond à une définition, mais, encombrant et inutile, on a décidé de le laisser sur la touche, avec les autres hooligans qui se contiennent eux-mêmes. Ce qui est important de retenir de tout ceci, est que des choses comme le calcul imaginaire ou la Théorie des Ensembles contiennent des contradiction dans leur base. Et si l'on excluait tout ce qui est auto-contradictoire, alors les mathématiques seraient impossible, elles n'existeraient pas.

Evidemment, les mathématiciens n'aiment pas présenter les choses de cette façon, depuis qu'ils se sont lancés dans leur quête d'un système parfait expliquant toute chose de manière univoque. Pourtant des démonstrations de l'impossibilité d'un tel système ont été apportées à plusieurs reprises au début du 20eme siècle. La plus connue est le théorème d'incomplétude de Gödel, qui dit que tout ensemble d'axiomes, suffisamment complexe pour décrire les nombres entiers, conduit forcément à des énoncés indémontrables (des paradoxes). Plusieurs théorèmes similaires, plus complexes, ont aussi été démontrés à la même époque. Le travail de Gödel est resté longtemps dans un placard obscur (avec ses copains la joyeuse bande des conséquences bizarres de la mécanique quantique, je ne vous dis pas la java qu'ils ont fait là dedans) car il embêtait pas mal les mathématiciens de l'époque. Il a même inspiré des philosophies masochistes ou tristounettes comme quoi la réalité nous serait définitivement inconnaissable. Le théorème de Gödel n'empêche pourtant pas la nature d'être belle sous le soleil, et je le trouve même assez rigolo, planté là au milieu du champ. Car rappelons nous: la réalité existe, et elle ne s'est jamais laissée arrêter par un paradoxe. Quand elle en rencontre un, elle profite de cette liberté pour faire ce qu'elle veut.

Cette boutade n'est pas gratuite: elle signifie que quand une loi de la nature n'est plus logiquement déterminée (par exemple quand elle mène à un paradoxe logique, ou à des valeurs infinies) alors d'autres lois habituellement cachées, inhibées, vont prendre le devant de la scène et déterminer ce qui va se passer. La réalité ne s'arrête jamais d'exister.

Prenons un exemple: la proposition logique «A égale non-A» est toujours fausse et ne permet pas de calculer A. Dans le monde matériel, on a créé des circuits électroniques dits circuits logiques, dont les tensions sur les broches ne peuvent prendre que deux états: par exemple toute la tension correspond à un oui logique, et aucune tension correspond à un non logique. Les broches de sortie réalisent des combinaisons logiques des états présents sur les broches d'entrée: OU, ET, NON... Ces circuits sont prévus pour fonctionner ainsi dans toutes les conditions, et même si les tensions d'entrée sont affaiblies ou parasitées ce sont toujours des oui ou des non. Ainsi on arrive à ce que cet objet matériel forcément imparfait se comporte quand même comme une machine logique parfaite, exempte de tout défaut matériel. Mais on peut alors s'amuser à matérialiser le paradoxe précédent, en connectant une entrée A à une sortie non-A (le fil réalise l'égalité des tensions, et donc l'égalité logique). Quoi que ce soit, il va bien se passer quelque chose. Branchons... Piiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii! Ce n'est pas un état logique (impossible à déterminer) Le circuit s'est mis à osciller en haute fréquence, dans un fonctionnement entièrement différent, déterminé par ses défauts matériels tels que son inductance ou des résistances parasites qui ne jouent aucun rôle dans son fonctionnement logique normal. Ce mode de fonctionnement n'apparaît que quand un paradoxe logique rend impossible le fonctionnement normal. Cet effet de lois masquées qui apparaissent quand les lois de premier plan sont logiquement prises en défaut est très courant dans la nature, et on pourrait en citer bien d'autres exemples en physique, en électronique et ailleurs. On verra même dans la chapitre IV-9 sur la physique, comment cela peut même mener à l'apparition de lois physiques nouvelles!

On peut toujours essayer de se rassurer en se disant que le théorème d'incomplétude ne concernerait que quelques mathématiciens rassis occupés à des ratiocinations dénuées de tout intérêt pratique. Faux espoir: outre les mathématiques, les théories physiques sont toutes des systèmes d'axiomes, ainsi que tous les systèmes religieux, philosophiques, métaphysiques, éthiques, sociaux, politiques, économiques, industriels, ludiques, agricoles... Autrement dit il faut s'attendre à trouver des paradoxes, des énoncés indécidables, des contradictions, dans tous les aspects de nos vies.

Certes les disputes philosophiques, politiques, éthiques ou religieuses, proviennent le plus souvent d'erreurs de raisonnement (dogmatisme, idéologies, et tous les troubles vus au chapitre I-9) ou de préjugés sur la vie (qui sont forcément incompatibles). Mais on peut trouver des cas, en physique, en éthique, en spiritualité, etc. où un paradoxe demande à être résolu d'une des deux façons possibles, pour que l'ensemble de la théorie marche.

 

Ce que je veux faire comprendre ici est qu'il n'y a rien de foncièrement mauvais à cette situation: tout comme cela a été fait avec les nombres imaginaires ou avec les ensembles, on peut mettre un paradoxe à profit pour modifier n'importe quelle théorie d'une manière qui nous arrange. C'est ce que j'appelle le paradoxe créateur, ou l'absurdité fondatrice, un concept clé pour la suite.

En effet, en plus d'avoir des applications pratiques fort utiles pour nous, ce procédé intervient aussi naturellement, dans la façon même dont la réalité se crée, y compris la réalité physique. Il en est ainsi parce que la physique obéit à des lois logiques, que l'on peut décrire à l'aide d'un système axiomatique. Si ce système axiomatique a des indéterminations logiques, voire des paradoxes, cela n'empêche pourtant pas la réalité physique de continuer à exister ou à fonctionner: elle réifie l'un des deux termes du paradoxe, ou elle trouve d'autres lois permettant de tourner la difficulté. Un paradoxe n'a jamais empêché le monde de tourner. (On notera qu'à ce point, on considère toujours la réalité physique comme quelque chose qui se comporte selon des lois logiques, tout en étant distinct d'elles).

 

 

On peut voir cette affirmation sur un exemple classique de paradoxe: le paradoxe du barbier, qui s'énonce ainsi: «Dans une ville, un barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes. Se rase t-il?» Présenté ainsi, il est impossible de répondre oui ou non à la question, car l'une comme l'autre réponse est en contradiction logique avec l'énoncé. Pourtant, si ce paradoxe se trouve physiquement réalisé, rien n'empêche le barbier d'adopter n'importe quelle attitude de son choix, voire une troisième comme de se laisser pousser la barbe. Si on veut représenter le système complet sous forme d'un système logique axiomatique, on est alors obligé d'ajouter un second axiome décrivant le comportement du barbier. Mais on a plusieurs choix pour ce faire: une théorie glabre et une théorie barbue!

Et sans philosophie maso sur l'inconnaissabilité...

 

On peut trouver de nombreux exemples en physique où un indéterminisme logique voit une des possibilités réifiées, et une seule. L'exemple le plus clair et le plus fondamental est le hasard quantique: une particule va choisir un état, et un seul, parmi plusieurs logiquement autorisés, sans aucun déterminisme logique pour un choix ou pour un autre.

 

Même une série mathématique contient une indétermination: chaque terme n'est défini que par rapport au précédent. Pour que la série soit définie, il faut donner une valeur arbitraire à un terme quelconque. Les mathématiciens ne parlent pas de paradoxe, mais l'opération de donner une valeur à un terme pour définir la série en entier est bien une levée de paradoxe.

 

Pour ceux qui sont sensible à la poésie des mathématiques, il existe une très belle image qui illustre visuellement cette idée d'absurdité fondatrice, de contradiction nécessaire à la fondation de tout système logique. Ce sont les réseaux de Penrose (du nom de leur inventeur Roger Penrose). Ce sont des carrelages réalisés à partir de deux carreaux de base de forme losange, et portant des motifs:

Les deux carreaux de Penrose

La règle de juxtaposition de ces carreaux est que les courbes de couleur doivent se suivre d'un carreau sur l'autre. Ce carrelage permet de couvrir le plan (de paver la cuisine sans laisser de trous entre les carreaux) tout comme les carreaux ordinaires carrés, hexagonaux ou triangulaires. Toutefois il le font d'une manière curieuse: la disposition des carreaux et les dessins formés par les motifs sont tout deux aléatoires et ne se reproduisent jamais à l'identique. C'est un réseau de Penrose.

Un réseau de Penrose, une fois commencé, peut de poursuivre à l'infini, en rajoutant des carreaux suivant certaines règles. Mais le plus curieux est qu'il semble que la règle de juxtaposition des carreaux doit être violée au départ, puis strictement respectée par la suite (sinon le réseau se bloque et on ne peut le continuer). Voici un exemple de réseau de Penrose, capable de croître parfaitement et à l'infini, mais qui montre deux défauts initiaux (près du centre):

 

Carrelage de Penrose

Définition de l'existence d'un système axiomatique

(Permalien) En conclusion de ces raisonnements, nous donnerons une définition de l'existence d'un système axiomatique qui sera une des bases les plus importantes pour la suite:

 

1) Un système axiomatique, quel qu'il soit, existe quand cette existence n'engendre pas de contradiction logique interne (paradoxe, indécidabilité...)

 

2) Tout système axiomatique contient forcément des contradictions internes (Théorème de Gödel)

 

3) Les règles 1 et 2 étant contradictoires, alors, pour qu'un système axiomatique puisse exister, il faut toujours accepter (règle 2) quelques contradictions fondatrices (des exceptions à la règle 1) et leur assigner arbitrairement une des deux (ou plus) valeurs contradictoires. Mais une fois cette condition remplie, les règles logiques doivent ensuite être respectées strictement.

 

On remarquera que ces trois énoncés se plient eux même aux règles qu'ils définissent!

La Théorie des Ensemble elle-même se plie aussi à ces règles: deux contradiction internes ont nécessité le second et troisième axiome pour assurer la cohérence. Un second axiome différent conduit à une théorie différente, la Théorie des Superensembles.

Dans la génération de ma pensée, dès mon adolescence j'étais passé par une «mathématique des objets qui n'existent pas», notamment i ou l'ensemble des ensembles. Ce sont ces spéculations qui m'ont mené aux définitions de l'existence ci-dessus.

 

Cette définition est équivalente au premier principe de métaphysique du chapitre III-2, en plus détaillée, pour les systèmes axiomatiques.

 

On en conclut, à propos des objets logiques individuels que contient ce système axiomatique:

 

4) Dans un système axiomatique, un objet individuel, quel qu'il soit, n'existe que si cette existence n'engendre pas de contradiction logique dans son système (paradoxe, indécidabilité...). (A l'exception bien sûr des objets concernés par le paradoxe fondateur du système)

Le nombre imaginaire i est un exemple d'objet impliqué dans un paradoxe fondateur.

 

Si on a un choix quasi absolu des axiomes de départ, si on a un certain choix de valeurs à assigner à certaines propositions pour lever les contradictions fondatrices, on n'a par contre plus aucun choix sur leurs implications:

 

5) A partir d'un jeu d'axiomes et de valeurs aux contradictions fondatrices, notre système axiomatique est totalement et rigoureusement déterminé, jusqu'à un nombre infini d'inférences logiques! On ne peut que l'explorer, mais plus le modifier.

 

On peut alors voir en quoi choisir arbitrairement une des deux valeurs indécidables dans une contradiction peut être fondateur de quelque chose, avec des exemples «illogiques» comme la théorie des ensembles, le calcul avec i, le dallage de Penrose, et surtout dans les exemples qui vont suivre dans cette partie du livre. Ceci ressemble fort à un acte de création d'une réalité, comparable à la Création Divine. Mais pour le moment il ne s'agit que de créer des systèmes axiomatiques!

Cas avec des indéterminismes

(Permalien) Un autre cas plus subtil est celui où des indéterminismes logiques (chapitre I-10) apparaissent, non pas au moment de la fondation, mais plus loin dans le développement. Cela peut arriver de nombreuses façons: paradoxes, apparitions de valeurs infinies ou enfin indéterminisme d'actualisationchapitre I-10). Que se passe t-il alors?

 

6) Nib spécial. Si un indéterminisme solitaire est isolé dans un «région» de notre système axiomatique, alors nous avons le choix d'actualiser une des valeurs contradictoires, mais l'effet ne s'en fait sentir que dans cette région, et pas dans le reste du système. On a donc un autre système qui se propage indépendamment, que nous appellerons une «branche» («forked» en anglais). Ceci est fréquent dans les systèmes mathématiques et axiomatiques. Les physiciens appellent cela une rupture de symétrie, comme nous le verrons dans la quatrième partie sur la physique, en particulier le chapitre IV-9. Mais nous verrons aussi que c'est probablement comme cela que le libre arbitre fonctionne (chapitre V-3), ainsi que tous les phénomènes psychophysiques (septième partie)

 

7) Nib ordinaire. Si on a des indéterminismes d'actualisation à chaque implication logique de notre système axiomatique (à chaque étape de sa construction) alors une certaine liberté d'évolution apparaît. Cela semble être le cas de la mécanique quantique, base de notre physique, et cela soulève d'importantes questions qui seront traitées dans la quatrième partie sur la physique.

 

8) (Ajouté en Aout 2018) Les exemples des points 6 et 7 semblent tous obéir au principe d'économie d'absurdité: les paramètres réifiés au hasard le sont tout de même dans des limites bien précises, uniquement où ils ne sont pas déjà déterminés par les inférences précédentes. Dans le cas de la mécanique quantique c'est évident, mais cela apparaît aussi dans les phénomènes psychophysiques de la septième partie. C'est la raison pour laquelle j'ai ajouté cette huitième définition, après m'être rendu compte de son importance en écrivant ces parties. On peut considérer que c'est une règle d'auto-cohérence nécessaire au fonctionnement de la réalité.

 

 

 

 

 

 

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